一、多项式矩阵求逆的连分式插值方法（论文文献综述）
梁舒[1]（2015）在《分数阶系统的控制理论研究》文中研究指明分数阶现象在越来越多的科学与工程问题中被发现,标志着人们对客观世界认知的进步,也对控制和改造动态系统以实现更高的目标带来了机遇和挑战。分数阶系统的控制理论是推动分数阶技术不断发展的基础,是在实际问题中作为一种解决方案能够得到认可并取得良好效果的关键,是一门既有重要的工程意义、较广的应用前景又充满困难的新兴基础科学。本文致力于从易到难、由浅入深并富于创造性地对其进行研究,建立和完善以分数阶控制系统为核心的理论体系。首先,研究目前较热门的分数阶系统鲁棒稳定性问题。针对三类直接影响稳定性的不确定因素,给出分数阶系统的鲁棒稳定线性矩阵不等式（LMI）条件,并进一步研究鲁棒镇定控制器设计以及保守性更低的LMI条件。鉴于巩范数是表征系统鲁棒稳定性和扰动抑制能力的重要指标,首次提出运用广义KYP引理研究并得到适合于分数阶系统的界实引理,并进一步给出分数阶系统的H∞控制器设计方法。稳定性理论中着名的劳斯判据十分简单且有效,但仅适合于整数阶系统。本文首次给出适用于线性定常同元次分数阶系统的劳斯型判据。同时,对于劳斯型列表可能出现的两种特殊情况给出便于数值处理的方法。进一步,针对复系数同元分数次多项式关于黎曼面中任意扇形区域的零点分布给出完备的劳斯型判据。此外,对于更为困难的非同元分数次多项式零点分布问题,给出简单的图解判据。鉴于李雅普诺夫方法在控制系统分析与设计中的重要地位,探讨适合于分数阶系统的李雅普诺夫泛函的存在性和它可能具有的形式。首次证明了线性定常分数阶系统的逆李雅普诺夫定理。提出分数阶系统的李雅普诺夫泛函方程,并进一步给出一类满足要求的李雅普诺夫泛函构造方法。进一步,给出表征分数阶控制系统能量的广义线性二次型泛函,提出使其最小化的LQR控制问题。为了解决该最优控制问题,开创性地给出空间积运算数学工具,能够有效分析分数阶系统无穷维状态空间方程。在此基础上,运用贝尔曼动态规划给出分数阶系统的LQR控制律。最后,考虑分数阶系统的数值实现问题,给出有限维近似方法,得到一般分数阶系统近似模型的状态空间方程,同时对初始化问题进行研究。针对真实分数阶系统与分数阶微分方程数学模型之间的差异,给出它们稳定性之间的关系。
吕慧[2]（2014）在《计算大规模稀疏矩阵函数乘向量的Krylov子空间算法》文中研究表明Krylov子空间方法可用于计算大规模稀疏矩阵的矩阵函数乘向量f （A）v.与其他数值代数问题如求解线性方程组、计算特征值问题等不同的是，计算f （A）v的Krylov子空间算法没有可计算的误差表达式或相应的残差的概念可以用来判定计算的精度、设计算法的停机准则.对于eAv的Arnoldi近似，Saad曾于1992年建立了误差展开式，并从数值试验结果中观察到展开式中的第一项是一个较好的后验误差估计.本文通过建立两个误差上界，首次给出了误差展开式中第一项是可靠的后验误差估计的理论依据.更进一步，我们将Saad的结论进行了推广，针对足够光滑的函数f （z）,建立了其Krylov-like近似的误差展开式，同时从理论和数值实验两方面验证了误差展开式中的第一项是f （A）v的Krylov-like近似的可靠的后验误差估计，据此理论设计出了相应Krylov子空间算法的可靠的停机准则.计算f （A）v的Krylov子空间算法的误差可与求解线性方程组的对应方法的残差相联系.标准Arnoldi方法对应于求解方程组的Arnoldi方法，一般没有任何最优性.基于求解线性方程组的GMRES方法及其收敛性结果，本文提出了计算f （A）v的调和Ritz方法，并给出了相应的收敛性分析.同时根据标准Arnoldi算法的重启思想，设计出了重启的调和Ritz方法，解决了其计算量和存储量的问题.调和Ritz方法与矩阵A在目标点ξ处的调和Ritz值密切相关.和Arnoldi方法相比，调和Ritz方法有两点显着的优势，一是收敛曲线相比于标准Arnoldi方法更为光滑，二是通过算法中参数ξ的选取可以保证重启的调和Ritz方法对任意的重启步数均收敛，该点在实际中尤为重要.本文给出了ξ的三条选取准则及其显式表达式，并论证了调和Ritz算法对ξ的选取并不敏感，这表明，我们的方法具有普适性.数值实验表明了调和Ritz算法及其重启算法的有效性和光滑性，并且验证了算法对ξ的选取并不敏感.隐式重启算法通过构造合适的多项式过滤算子，可以有效的选取重启算法的初始向量，提高重启后的子空间的质量，加速目标不变子空间的收敛.基于该思想，本文给出了计算f （A）v的隐式重启Arnoldi算法，且在选取精确位移（即A的Ritz值）构造多项式过滤算子时，证明了计算f （A）v的隐式重启Arnoldi算法数学上与带收缩技术的重启Arnoldi算法等价.
黄潇[3]（2012）在《循环矩阵生成与分解的算子方法》文中提出本文利用位移算子的方法对循环矩阵的结构和性质进行研究。从线性算子的角度考虑循环矩阵和与其相关的各种结构矩阵的内在联系，推导了循环矩阵的三种不同的生成方式以及对应的位移算子表达式。通过循环矩阵与Vandermonde矩阵，Toeplitz矩阵和Toeplitz-Bezout矩阵等结构矩阵的关系研究了循环矩阵的分解与约化的算子方法。归纳了广义循环矩阵中的块循环矩阵，r-循环矩阵和反循环矩阵的生成方式，用算子方法证明了块循环矩阵的性质，并讨论了r-循环矩阵在Toeplitz矩阵与Toeplitz-Bezout矩阵关系中的桥梁作用。它们在系统与控制理论中都有非常重要的应用。本文共分为五个部分：第一章介绍了结构矩阵和线性算子的研究背景，研究现状及本文的主要工作第二章的前两节主要介绍Toeplitz-Bezout矩阵和与之相关的矩阵的概念与性质，线性算子的定义，以及各种结构矩阵的线性算子表示。第三节利用算子方法对循环矩阵的生成方式进行研究，阐明了循环矩阵与基本循环矩阵，Toeplitz矩阵和Toeplitz-Bezout矩阵的关系，提出了循环矩阵三种不同的生成方式及其对应的位移算子表达式。第三章是在第二章的基础上研究循环矩阵的两种分解方法：Vandermonde分解和Barnett分解，并将循环矩阵的Barnett分解方法进行了推广。通过循环矩阵与Vandermonde矩阵的关系得到了循环矩阵的Vandermonde约化形式，并讨论了它与Vandermonde分解之间的关系。第四章将对循环矩阵研究的工作推广到广义循环矩阵，利用算子方法重新证明了块循环矩阵的一般性质，进而证实了块循环矩阵是普通循环矩阵的推广，具有与普通循环矩阵相类似的性质和类似的算子表示形式。对广义循环矩阵中的r-循环矩阵（和反循环矩阵）的生成方式进行了探讨，并以此拓展了Toeplitz矩阵和Toeplitz-Bezout矩阵之间的联系。第五章总结了本文的主要工作并对未来待解决的问题提出研究展望。
卢诚波[4]（2012）在《几类循环矩阵的快速算法研究》文中认为循环矩阵类是一类特殊的结构矩阵,这类矩阵在图像重建,编码理论,信号处理,分子振动和应用数学等领域都有着广泛的应用。近年来,对循环矩阵及广义循环矩阵的特性和有关快速算法的研究引起了众多学者的兴趣。本文共分四章,主要讨论的是循环矩阵及几类广义循环矩阵的求逆、相乘、计算平方根矩阵的算法,在总结已有方法的基础上,给出了几种新的快速算法。主要研究内容如下：第一章：简单介绍了循环矩阵研究的现实意义、研究概况,给出了几类循环矩阵的定义和一些性质,同时也给出了与本论文有关的一些定理、引理和符号。第二章：介绍了判断循环矩阵非奇异性的几个充分条件。作者利用矩阵分块降阶的方法给出了循环矩阵求逆与相乘的算法,并介绍了利用快速傅里叶变换（FFT）对循环矩阵进行求逆与相乘的快速算法,然后对这些方法进行了比较。第三章：给出了几类广义循环矩阵求逆与相乘的快速算法。作者借助快速傅里叶变换（FFT）给出了（n1,n2）型二重（r1,r2）-循环矩阵求逆与相乘的快速算法；利用矩阵分块降阶的方法给出了（R,r）-循环分块矩阵求逆与相乘的快速算法；然后将鳞状因子循环矩阵的概念推广到矩阵块,定义了分块鳞状因子循环矩阵,并设计了一种递归算法计算分块鳞状因子循环矩阵的逆矩阵。第四章：简单介绍了平方根矩阵的研究现状,平方根矩阵的分类和存在性,以及一些相关的引理。首先,作者给出了循环矩阵和拟斜循环矩阵的简化式,利用这些性质分别设计了计算循环矩阵和拟斜循环矩阵的平方根矩阵的算法,这些算法和基于Schur分解的标准的计算平方根矩阵算法相比,在运算量上有较大的优势。同时,还研究了循环矩阵和拟斜循环矩阵的平方根矩阵的数量、形式和分类情况。进一步地,作者研究了主对角线元素为正数的循环H-矩阵,并设计了两种迭代算法来计算这类循环矩阵的主平方根矩阵。这两种迭代算法不涉及三角函数的计算,只需要矩阵的乘法和加法。最后,利用插值法给出了计算鳞状因子循环矩阵平方根矩阵的一种快速算法。
顾郁枫[5]（2002）在《多项式矩阵求逆的连分式插值方法》文中研究说明本文借助于基于广义逆矩阵Thiele-型连分式插值的计算公式,建立了多项式矩阵求逆的一个新方法。关于多项式矩阵求逆的一个实例给出以说明本文的结果。
二、多项式矩阵求逆的连分式插值方法（论文开题报告）
（1）论文研究背景及目的
此处内容要求：
首先简单简介论文所研究问题的基本概念和背景，再而简单明了地指出论文所要研究解决的具体问题，并提出你的论文准备的观点或解决方法。
写法范例：
本文主要提出一款精简64位RISC处理器存储管理单元结构并详细分析其设计过程。在该MMU结构中,TLB采用叁个分离的TLB,TLB采用基于内容查找的相联存储器并行查找,支持粗粒度为64KB和细粒度为4KB两种页面大小,采用多级分层页表结构映射地址空间,并详细论述了四级页表转换过程,TLB结构组织等。该MMU结构将作为该处理器存储系统实现的一个重要组成部分。
（2）本文研究方法
调查法：该方法是有目的、有系统的搜集有关研究对象的具体信息。
观察法：用自己的感官和辅助工具直接观察研究对象从而得到有关信息。
实验法：通过主支变革、控制研究对象来发现与确认事物间的因果关系。
文献研究法：通过调查文献来获得资料，从而全面的、正确的了解掌握研究方法。
实证研究法：依据现有的科学理论和实践的需要提出设计。
定性分析法：对研究对象进行“质”的方面的研究，这个方法需要计算的数据较少。
定量分析法：通过具体的数字，使人们对研究对象的认识进一步精确化。
跨学科研究法：运用多学科的理论、方法和成果从整体上对某一课题进行研究。
功能分析法：这是社会科学用来分析社会现象的一种方法，从某一功能出发研究多个方面的影响。
模拟法：通过创设一个与原型相似的模型来间接研究原型某种特性的一种形容方法。
三、多项式矩阵求逆的连分式插值方法（论文提纲范文）
（1）分数阶系统的控制理论研究（论文提纲范文）
| 摘要 |
| ABSTRACT |
| 主要符号对照表 |
| 第一章 绪论 |
| 1.1 引言 |
| 1.2 分数阶系统控制理论的研究现状 |
| 1.2.1 典型的分数阶控制器 |
| 1.2.2 分数阶系统的稳定性理论与控制器设计 |
| 1.3 分数阶系统的数学基础 |
| 1.3.1 分数阶微积分的定义与性质 |
| 1.3.2 米塔格-莱弗勒(Mittag-Leffler)函数与分数阶微分方程的解 |
| 1.4 内容与结构安排 |
| 第二章 不确定分数阶系统鲁棒稳定性分析与控制 |
| 2.1 预备知识 |
| 2.1.1 线性定常分数阶系统的稳定区域及LMI判据 |
| 2.1.2 多胞型集合的数学描述 |
| 2.1.3 多项式矩阵的约当对 |
| 2.2 具有多胞型系统矩阵的分数阶系统鲁棒镇定 |
| 2.2.1 问题描述 |
| 2.2.2 主要结果——确定和不确定分数阶系统稳定与镇定的LMI方法 |
| 2.2.3 仿真算例 |
| 2.3 分数阶系统具有多胞型特征矩阵时的鲁棒稳定分析 |
| 2.3.1 问题描述 |
| 2.3.2 主要结果——多胞型多项式矩阵的鲁棒稳定 |
| 2.3.3 仿真算例 |
| 2.4 阶次与系数具有耦合关系不确定时的鲁棒稳定与镇定 |
| 2.4.1 问题描述 |
| 2.4.2 主要结果——耦合参数不确定分数阶系统的鲁棒稳定与鲁棒镇定 |
| 2.4.3 仿真算例 |
| 2.5 本章定理证明 |
| 2.5.1 定理2.1的证明 |
| 2.5.2 定理2.2的证明 |
| 2.5.3 定理2.3的证明 |
| 2.5.4 定理2.4的证明 |
| 2.5.5 定理2.5的证明 |
| 2.5.6 定理2.6的证明 |
| 2.5.7 定理2.7的证明 |
| 2.5.8 定理2.8的证明 |
| 2.5.9 定理2.9的证明 |
| 2.6 本章小结 |
| 第三章 分数阶系统的H_∞控制 |
| 3.1 预备知识 |
| 3.1.1 L_∞空间与H_∞空间 |
| 3.1.2 系统H_∞范数的物理意义 |
| 3.1.3 广义KYP引理 |
| 3.2 问题描述 |
| 3.3 主要结果——分数阶系统的界实引理与H_∞控制 |
| 3.4 仿真算例 |
| 3.5 本章定理证明 |
| 3.5.1 定理3.1的证明 |
| 3.5.2 定理3.2的证明 |
| 3.5.3 定理3.3的证明 |
| 3.6 本章小结 |
| 第四章 分数阶系统的劳斯型判据 |
| 4.1 分数次多项式及其零点在黎曼面中的结构 |
| 4.2 实系数同元分数次多项式的劳斯型判据 |
| 4.3 特殊情况分析 |
| 4.4 复系数同元分数次多项式关于一般扇形区域的劳斯型判据 |
| 4.5 非同元分数次多项式零点分布的图解法判据 |
| 4.6 仿真算例 |
| 4.7 本章定理证明 |
| 4.7.1 定理4.1的证明 |
| 4.7.2 定理4.2的证明 |
| 4.7.3 定理4.3的证明 |
| 4.7.4 定理4.4的证明 |
| 4.7.5 定理4.5的证明 |
| 4.8 本章小结 |
| 第五章 线性定常分数阶系统的逆李雅普诺夫定理 |
| 5.1 分数阶系统从传递函数描述到状态空间实现 |
| 5.1.1 从传递函数到伪状态空间 |
| 5.1.2 状态空间实现 |
| 5.2 主要结果——线性定常分数阶系统的逆李雅普诺夫定理 |
| 5.3 仿真算例 |
| 5.4 线性定常分数阶系统逆李雅普诺夫定理的证明 |
| 5.5 本章小结 |
| 第六章 分数阶系统的无穷维状态空间分析与LQR控制 |
| 6.1 预备知识与问题描述 |
| 6.1.1 从伪状态空间方程到无穷维状态空间方程 |
| 6.1.2 分数阶系统的广义二次型指标与LQR控制的问题描述 |
| 6.2 分数阶系统的无穷维状态空间分析工具——空间积 |
| 6.3 分数阶系统的LQR控制 |
| 6.4 一个具体例子 |
| 6.5 本章定理证明 |
| 6.5.1 定理6.1的证明 |
| 6.5.2 定理6.2的证明 |
| 6.6 本章小结 |
| 第七章 分数阶系统的有限维近似与初始值问题 |
| 7.1 分数阶积分器的有限维近似 |
| 7.1.1 仿真算例 |
| 7.2 一般分数阶系统的有限维近似 |
| 7.2.1 仿真算例 |
| 7.3 分数阶微分方程的初始值问题研究 |
| 7.3.1 不同定义对应的初始条件 |
| 7.3.2 仿真算例 |
| 7.4 非零初始状态下线性定常分数阶系统的稳定性 |
| 7.5 本章小结 |
| 第八章 工作总结与展望 |
| 8.1 论文的主要工作 |
| 8.2 论文的主要创新点 |
| 8.3 前景展望 |
| 8.4 研究体会 |
| 参考文献 |
| 致谢 |
| 攻读博士学位期间的学术活动及研究成果 |
（2）计算大规模稀疏矩阵函数乘向量的Krylov子空间算法（论文提纲范文）
| 摘要 |
| Abstract |
| 目录 |
| 主要符号对照表 |
| 第1章 绪论 |
| 1.1 选题背景介绍 |
| 1.2 研究现状 |
| 1.2.1 计算矩阵函数f (A)的研究现状 |
| 1.2.2 计算大规模稀疏矩阵函数乘向量的研究现状 |
| 1.3 本文研究内容和结构安排 |
| 第2章 矩阵函数的基础知识 |
| 2.1 矩阵函数的基本理论知识 |
| 2.1.1 矩阵函数的定义 |
| 2.1.2 矩阵函数的基本性质和特殊矩阵函数 |
| 2.2 计算矩阵函数的数值算法 |
| 2.2.1 Schur - Parlett算法 |
| 2.2.2 多项式和有理逼近 |
| 2.2.3 缩放平方算法及其修正 |
| 2.2.4 矩阵迭代法 |
| 第3章 计算大规模矩阵函数乘向量的Krylov子空间算法 |
| 3.1 引言 |
| 3.2 计算f (A)v投影类算法的基本框架 |
| 3.3 计算f (A)v的Krylov子空间算法 |
| 3.3.1 标准Arnoldi算法 |
| 3.3.2 多项式Krylov子空间算法 |
| 3.3.3 Krylov子空间算法的基本理论结果 |
| 3.3.4 其他Krylov子空间算法 |
| 3.4 Krylov子空间算法的重启 |
| 3.5 带收缩技术的重启Krylov子空间算法 |
| 3.5.1 计算f (A)v的Krylov-like近似及其基本性质 |
| 3.5.2 带收缩技术的重启Arnoldi算法 |
| 3.5.3 计算f (A)v的隐式重启Arnoldi算法 |
| 第4章 计算f (A)v的Krylov子空间算法的误差分析 |
| 4.1 引言 |
| 4.2 f (A)v的Krylov-like近似的误差展开式 |
| 4.3 ‖E_m(e~z, τ)‖的上界估计 |
| 4.3.1 关于‖E_m(e~z, τ)‖的一个上界估计 |
| 4.3.2 ‖E_m(e~z, τ)‖的另一个上界估计 |
| 4.4 近似计算f (A)v的后验误差估计 |
| 4.4.1 矩阵A为Hermite情形 |
| 4.4.2 矩阵A为非Hermite情形 |
| 4.4.3 其他矩阵函数情形 |
| 4.4.4 其他Krylov-like近似情形 |
| 第5章 计算f (A)v的调和Ritz方法 |
| 5.1 引言 |
| 5.2 计算f (A)v的调和Ritz方法 |
| 5.2.1 GMRES方法和计算f (A)v的调和Ritz方法 |
| 5.2.2 调和Ritz方法的投影框架和多项式插值性质 |
| 5.2.3 重启的调和Ritz方法 |
| 5.3 调和Ritz方法的收敛性分析 |
| 5.4 ξ的选取及敏感性分析 |
| 5.5 数值实验 |
| 5.6 本章小结 |
| 第6章 结论与展望 |
| 6.1 全文总结 |
| 6.2 本文的创新点 |
| 6.3 对未来工作的展望 |
| 参考文献 |
| 致谢 |
| 个人简历、在学期间发表的学术论文与研究成果 |
（3）循环矩阵生成与分解的算子方法（论文提纲范文）
| 摘要 |
| ABSTRACT |
| 致谢 |
| 第一章 绪论 |
| 1.1 研究背景与现状 |
| 1.2 本文的主要工作 |
| 第二章 循环矩阵的生成方式 |
| 2.1 Toeplitz-Bezout 矩阵及相关特殊矩阵的定义 |
| 2.2 位移算子的基本概念和相关矩阵的位移算子表示 |
| 2.3 循环矩阵的生成方法和算子表示 |
| 第三章 循环矩阵分解的算子方法 |
| 3.1 循环矩阵的 Barnett 分解 |
| 3.2 循环矩阵的 Vandermonde 约化与 Vandermonde 分解 |
| 3.3 数值举例 |
| 第四章 广义循环矩阵 |
| 4.1 块循环矩阵的性质 |
| 4.2 Toeplitz 矩阵与 Toeplitz-Bezout 矩阵的关系 |
| 第五章 总结与下一步研究计划 |
| 5.1 论文总结 |
| 5.2 下一步研究计划 |
| 参考文献 |
| 攻读硕士学位期间发表的论文 |
（4）几类循环矩阵的快速算法研究（论文提纲范文）
| 摘要 |
| Abstract |
| 第一章 绪论与预备知识 |
| §1.1 引言 |
| §1.2 矩阵的Kronecker积及其主要性质 |
| §1.3 置换矩阵 |
| §1.4 傅里叶(Fourier)矩阵的性质简介 |
| §1.5 广义逆 |
| §1.6 基本符号 |
| §1.7 本文内容及安排 |
| 第二章 循环矩阵求逆与相乘的一些算法 |
| §2.1 循环矩阵可逆性的判定 |
| §2.2 基于快速傅立叶变换的算法 |
| §2.2.1 循环矩阵求逆算法 |
| §2.2.2 两个循环矩阵相乘的算法 |
| §2.3 基于矩阵分块降阶的算法 |
| §2.3.1 循环矩阵求逆算法 |
| §2.3.2 两个循环矩阵相乘的算法 |
| 第三章 几类广义循环矩阵求逆及相乘的算法 |
| §3.1 (n_1,n_2)型二重(r_1,r_2)循环矩阵求逆与相乘的快速算法 |
| §3.2 (R,r)-循环分块矩阵求逆与相乘的快速算法 |
| §3.3 (n_1,n_2,…,n_k)型k重(r_1,r_2,…,r_k)-循环矩阵求逆与相乘的快速算法 |
| §3.4 鳞状因子循环矩阵求逆与相乘的快速算法 |
| §3.5 分块鳞状因子循环矩阵求逆的快速算法 |
| 第四章 几类循环矩阵的平方根矩阵 |
| §4.1 矩阵的平方根矩阵 |
| §4.2 循环矩阵的平方根矩阵 |
| §4.3 拟斜循环矩阵的平方根矩阵 |
| §4.4 鳞状因子循环矩阵的平方根矩阵 |
| 参考文献 |
| 作者在攻读博士学位期间公开发表及录用的论文 |
| 致谢 |
四、多项式矩阵求逆的连分式插值方法（论文参考文献）
- [1]分数阶系统的控制理论研究[D]. 梁舒. 中国科学技术大学, 2015(03)
- [2]计算大规模稀疏矩阵函数乘向量的Krylov子空间算法[D]. 吕慧. 清华大学, 2014(09)
- [3]循环矩阵生成与分解的算子方法[D]. 黄潇. 合肥工业大学, 2012(06)
- [4]几类循环矩阵的快速算法研究[D]. 卢诚波. 上海大学, 2012(08)
- [5]多项式矩阵求逆的连分式插值方法[J]. 顾郁枫. 应用数学与计算数学学报, 2002(02)